Pillole Testbusters di Matematica: i lati oscuri dei triangoli

Introduzione

Itriangolicostituiscono una presenza costante fra i quesiti di geometria del test di ammissione a medicina e, nonostante l’apparente semplicità di queste figure, spesso la risoluzione degli esercizi potrebbe non risultare così immediata.

Ci troviamo di fronte, infatti, tre soli lati ma parecchie proprietà da considerare, e alcune domande potrebbero rivelarsi particolarmente ostiche se non inquadrate nella giusta maniera.

Detto questo, però, niente paura: da“questa roba mi sta facendo impazzire”a“vai, punti facili!”il passo è veramente breve. Non serve, infatti, diventare profondi conoscitori della geometria euclidea, ma soltanto tenere bene a mente alcuneimportanti proprietàche, una volta memorizzate, vi condurranno verso la giusta strategia in men che non si dica.

Talvolta, poi, è possibile arrivare in ogni caso al risultato corretto, ma avere in mano qualche formula “pronta all’uso” significa poterci arrivare più rapidamente (e, come sapete, risparmiare quanto più tempo possibile durante i vostri 100 minuti è a dir poco fondamentale!).

Si tratta di piccole formule di facile memorizzazione che dovrete aggiungere alla voce “triangoli” nella vostra testa (dove avrete già Pitagora, Euclide, A = (b x h)/2, etc…).

Consideriamo, per esempio, di dover calcolare l’area del triangoloin figura.

Difficile? No, se ci ricordiamo che in qualsiasi triangolo l’area è uguale alla metà del prodotto fra due suoi lati e il seno dell’angolo compreso, ovvero

Questa è una proprietà valida in generale per qualsiasi tipo di triangolo. Ora, però, ci concentreremo su alcune peculiarità proprie di triangoli particolari.

Parliamo innanzitutto deitriangoli rettangoli,stardella geometria al test d’ingresso.Essi hanno un angolo retto e i due restanti complementari (la loro somma è uguale a 90°), inoltre per questi triangoli valgono i teoremi di Pitagora, Euclide, e alcune formule fondamentali derivate dalla trigonometria.

Oltre a questo, però, esistono triangoli rettangoli che godono di ulterioriproprietà specifiche: sono quelli con gli angoli acuti di 30° e 60° (i cosiddetti triangoli “30, 60, 90”, parafrasando le forme di Marylin Monroe) e quelli con due angoli da 45° (rappresentanti quindi la metà di un quadrato).

Per i triangoli “30, 60, 90” il cateto minore (adiacente all’angolo di 60°) è uguale alla metà dell’ipotenusa (i/2), mentre il cateto maggiore equivale a √3/2∙i. Va da sé, dunque, che la relazione che intercorre fra i due cateti sarà:cateto maggiore= √3∙cateto minore.

Soffermiamoci poi sui triangoli rettangoliisosceli, cioè i triangoli con i due cateti congruenti: essi hanno due angoli di 45° e rappresentano, come abbiamo già detto, la metà di un quadrato. Incontrando un triangolo di questo tipo, mai scordarsi che l’ipotenusa corrisponde al prodotto fra la lunghezza di un cateto e la radice di 2 (√2∙l).

Ricordati, fra l’altro, che questa formula è esattamente la stessa per calcolare ladiagonale di un quadrato, la quale coincide appunto con l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele.

Abbandonando i triangoli rettangoli, prendiamo invece in esame untriangolo equilatero, il quale presenta invece tutti e tre i lati congruenti, così come gli angoli. In questo particolare tipo di figure possiamo ricavare qualsiasi misura conoscendo soltanto la lunghezza del lato l.

In questo caso basta osservare che una qualsiasi delle tre altezze (ad esempio CH nell’immagine al lato) taglia simmetricamente il triangolo equilatero in due triangoli “30, 60, 90”, di cui ne rappresenta il cateto maggiore. Di conseguenza l’altezza (che coincide con la mediana) vale √3/2∙l e l’area è uguale a √3/4∙l2.

Infine, inscrivendo un triangolo equilatero in una circonferenza, il raggio di quest’ultima sarà √3/3∙l; mentre il raggio di una circonferenza inscritta all’interno della figura equivale a √3/6∙l (questo perché nel primo caso il raggio è uguale ai ⅔ dell’altezza, mentre nel secondo è uguale al suo terzo).

Terminando con il triangoloisoscele, ricordati che, conoscendo la base e un lato, l’area è uguale a:

Si tratta di una formula più laboriosa, ma potrebbe sempre tornare utile.

Come già detto, in diversi esercizi l’applicazione di queste semplici formule vi consentirà di risparmiaretempo prezioso, portandovi rapidamente alla soluzione. Dato che fidarsi è bene, ma controllare è meglio, vediamo insieme un paio di esempi!

In un triangolo rettangolo i due angoli adiacenti all’ipotenusa devono per forza essere complementari. Il triangolo descritto nel testo si presenta perciò così:Ora, per calcolare l’area procediamo secondodue metodidifferenti.Primo metodo: conoscendo il valore di un cateto e dell’angolo adiacente ad esso, calcoliamo l’ipotenusa BC utilizzando la formula trigonometrica propria dei triangoli rettangoli “ipotenusa=cateto/cos⁡(angolo adiacente)”. Avremo quindiBC= AB/cos(60) = AB/1/2=2AB=20cm.Ora, utilizzando ilteorema di Pitagoraè possibile trovare il valore del cateto maggiore AC:A questo punto possiamo calcolare l’area:A= AB∙AC/2= 10∙10√3/2= 50√3cm2.Secondo metodo: è un triangolo “30, 60, 90”, e per noi non ha più segreti! Alla luce di quanto detto prima, infatti, sappiamo che vale la formulacateto maggiore= √3 ∙cateto minore. Troviamo perciò immediatamente cheAC= √3AB= 10√3cm. Possiamo quindi già calcolare l’area, risparmiando minuti preziosi. Semplice, chiaro e veloce.Risposta corretta B.N.B.il primo metodo non è di per sé peggiore, è semplicemente più lungo. Di conseguenza è maggiormente soggetto a possibili errori e, inoltre, vi porterebbe via qualcosa in più in termini di tempo.

In un triangolo rettangolo i due angoli adiacenti all’ipotenusa devono per forza essere complementari. Il triangolo descritto nel testo si presenta perciò così:Ora, per calcolare l’area procediamo secondodue metodidifferenti.Primo metodo: conoscendo il valore di un cateto e dell’angolo adiacente ad esso, calcoliamo l’ipotenusa BC utilizzando la formula trigonometrica propria dei triangoli rettangoli “ipotenusa=cateto/cos⁡(angolo adiacente)”. Avremo quindiBC= AB/cos(60) = AB/1/2=2AB=20cm.Ora, utilizzando ilteorema di Pitagoraè possibile trovare il valore del cateto maggiore AC:A questo punto possiamo calcolare l’area:A= AB∙AC/2= 10∙10√3/2= 50√3cm2.

Secondo metodo: è un triangolo “30, 60, 90”, e per noi non ha più segreti! Alla luce di quanto detto prima, infatti, sappiamo che vale la formulacateto maggiore= √3 ∙cateto minore. Troviamo perciò immediatamente cheAC= √3AB= 10√3cm. Possiamo quindi già calcolare l’area, risparmiando minuti preziosi. Semplice, chiaro e veloce.Risposta corretta B.

N.B.il primo metodo non è di per sé peggiore, è semplicemente più lungo. Di conseguenza è maggiormente soggetto a possibili errori e, inoltre, vi porterebbe via qualcosa in più in termini di tempo.

La situazione descritta è questa:Ora che siamo diventati veri Maestri Jedi dei triangoli, sappiamo che il raggio di una circonferenza all’interno della quale è iscritto un triangolo equilatero vale √3/3∙l. Il testo ci dice che il raggio è lungo 8cm, perciò in questo caso avremo: 8= √3/3∙l. Da qui possiamo ricavare il lato del triangolo, che sarà: l=3/√3∙8= 83cmA questo punto, l’area del triangolo equilatero è uguale a √3/4∙l2, dunque: A=√3/4∙(8√3)2=192√3/4= 48√3cm2.Risposta corretta A.

La situazione descritta è questa:

Ora che siamo diventati veri Maestri Jedi dei triangoli, sappiamo che il raggio di una circonferenza all’interno della quale è iscritto un triangolo equilatero vale √3/3∙l. Il testo ci dice che il raggio è lungo 8cm, perciò in questo caso avremo: 8= √3/3∙l. Da qui possiamo ricavare il lato del triangolo, che sarà: l=3/√3∙8= 83cm

A questo punto, l’area del triangolo equilatero è uguale a √3/4∙l2, dunque: A=√3/4∙(8√3)2=192√3/4= 48√3cm2.Risposta corretta A.