Pillole di Matematica: Funzioni

Spesso è facile confondersi tra le diverse funzioni, ma esistono dei semplici trucchi stile Testbusters che ti permetteranno di non confonderti e avere le idee più chiare!

Ora andiamo a vedere le caratteristiche fondamentali di ogni tipologia di funzione.

Funzioni iniettive: cosa sono?

Una funzione si considera iniettiva quando a tutti gli elementi diversi all’interno del Dominio (x1≠ x2) corrispondono immagini anch’esse differenti, ovvero f(x1) ≠ f(x2).

Solo nel caso in cui x1= x2 avremo che f(x1) = f(x2).

Un esempio grafico di funzione iniettiva è y= x e perché ad ogni x corrisponde un solo valore di y, infatti se tracciamo delle rette y=k (linee rosse orizzontali) vediamo che per ogni y è associata una x. Nota però che la retta rossa orizzontale più in basso non interseca la funzione quindi NON è necessario che tutti i valori del Codominio (dell’asse y) siano in relazione con un valore x della funzione.

Se non stai capendo niente e odi la matematica allora questo esempio può aiutarti…

Consideriamo un gruppo di studenti in gita ad Amsterdam.

Gli studenti saranno gli elementi del Dominio mentre le camere d’hotel saranno gli elementi del Codominio.

Nel caso di una funzione iniettiva ogni studente avrà una sua camera senza condividerla con nessuno, quindi ogni studente avrà una camera diversa. Lo studente x1 avrà la camera d’hotel f(x1) e lo studente x2 avrà la camera d’hotel f(x2). Attenzione però che affinchè la funzione sia iniettiva non è necessario che tutte le camere d’hotel siano occupate, ma tutti gli studenti devono avere una sola camera!

Non tutti gli elementi del Codominio saranno in relazione con gli elementi del Dominio come vediamo nell’immagine.

FUNZIONI SURIETTIVE

Parliamo di funzione suriettiva se ad ogni elemento y del Codominio corrisponde almeno un elemento x del Dominio.

In questo caso potremo ricavare a partire da y tutti gli elementi x del Dominio.

Dal punto di vista grafico tutte le rette orizzontali y=k (segnate in rosso) devono intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.

Un esempio di funzione suriettiva è y= x 3 + 2x 2

appunto per ogni elemento di y corrisponde almeno un elemento di x come vediamo nel grafico.

Prendendo in considerazione l’esempio precedente dei ragazzi in gita, parliamo di funzione suriettiva quando TUTTE le stanze dell’hotel sono occupate e in qualche stanza c’è più di uno studente.

Quindi può esserci il caso in cui sia lo studente x1 sia lo studente x2 si trovino nella stessa stanza f(x).

FUNZIONI BIETTIVE

Una funzione biettiva (o biunivoca) è sia iniettiva sia suriettiva, ovvero ad ogni elemento di x appartenente al Dominio possiamo associare uno e un solo elemento di y appartenente al Codominio.

La differenza rispetto ad una funzione solo iniettiva è che in una funzione biettiva  tutte le immagini (tutte le y) sono associate ad un elemento x del Dominio.

La funzione y=x è un esempio di funzione biettiva perchè è sia iniettiva sia suriettiva.

Tutte le rette y=k (linee rosse orizzontali) intersecano il grafico in un solo punto (condizione della funzione iniettiva) e ad ogni y è associato almeno un elemento x del Dominio (condizione della funzione suriettiva).

Le funzioni biettive sono dette anche funzioni invertibili perchè sono le uniche da cui è possibile calcolare la funzione inversa f-1(x).

Usando l’esempio di prima della gita, con una funzione biunivoca siamo nella condizione in cui ad ogni studente è associata una ed una sola camera e tutte le stanze dell’hotel sono occupate!

ESERCIZI

Di quale di queste funzioni è possibile calcolare l’inversa f-1(x)?

A. f(x)=1/x

B. 0=4y2-8x+5

C. f(x)=x2

D. f(x) = log x3

E. f(x)=5/4-3x6

Una funzione è invertibile se è biettiva, cioè sia iniettiva che suriettiva.

La funzione  f(x)=1/x , opzione A, non è suriettiva poiché qualsiasi sia il valore di x non sarà mai possibile calcolare il valore f(x)=0 (infatti una funzione è suriettiva se qualunque numero reale può essere calcolato a partire da almeno un valore di x), quindi è sbagliata. La C e la E possono essere escluse perché contengono tutte la x elevata ad numero pari, una funzione di questo tipo (es. f(x)=x2=4) non è iniettiva perché lo stesso valore è associato a due valori differenti (es. ±2).

L’ opzione B ci propone invece una parabola avente asse parallelo all’asse delle ascisse (asse x): non è una funzione perché per una x esistono 2 valori di y.Ciò va contro, infatti, alla definizione di funzione.

L’unica funzione biettiva, e quindi invertibile, è rappresentata da f(x) = log x3, infatti invertendola otteniamo una funzione esponenziale.

Risposta corretta D.

Quale fra le seguenti affermazioni è errata?

A. Se una funzione è iniettiva, elementi distinti del dominio sono associati ad elementi distinti del codominio

B. Se una funzione è iniettiva, elementi del codominio non possono non essere associati ad elementi del dominio

C. Se una funzione è biunivoca, è anche iniettiva

D. Se una funzione è biunivoca, è anche suriettiva

E. Tutte le affermazioni sono corrette

Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva allora si dice biettiva o biunivoca, viene dunque da sé che le opzioni C e D sono da escludere in quanto corrette.

Vediamo che l’opzione A corrisponde esattamente alla definizione di funzione iniettiva, si può quindi escludere.

L’opzione B senza doppia negazione equivale a: “Se una funzione è iniettiva, elementi del codominio sono per forza associati ad elementi del dominio” ma questo è falso in quanto una funzione iniettiva può essere anche suriettiva, e può quindi avere elementi del codominio che rimangono non associati ad elementi del dominio.

Risposta corretta B.