Pillole Testbusters – Matematica: eventi dipendenti, indipendenti, compatibili e non compatibili

Introduzione

Un argomento che spesso si tralascia l’ultimo anno di liceo, o che comunque in alcuni casi non si affronta nella maniera giusta, è la probabilità. Capita spesso, infatti, di confondersi fra eventi compatibili e non compatibili e fra eventi dipendenti e indipendenti e non si sappia bene che calcoli fare.

Calcolare la probabilità di un solo evento non risulta troppo difficile, ma se vogliamo calcolare la probabilità che avvengano due eventi o più, ecco che si inizia ad andare in confusione.

Per prima cosa è necessario capire se gli eventi sono tra di loro compatibili oppure no, ovvero se i due eventi possono verificarsi entrambi o se il verificarsi dell’uno preclude il verificarsi dell’altro. Un esempio di eventi COMPATIBILI è la probabilità che, pescando una carta da un mazzo completo, si peschi un 10 (evento 1) o una carta di picche (evento 2), e infatti esiste un 10 di picche. Sono invece due eventi INCOMPATIBILI quelli coinvolti nella probabilità di tirare un dado e ottenere un 2 (evento 1) o un 6 (evento 2): se uscirà il 2 non potrà uscire il 6 e viceversa.

La probabilità che uno tra due eventi INCOMPATIBILI si verifichi, è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento. Per esempio: il primo evento è che tirando un dado esca 6, il secondo evento che esca 2 (con un solo lancio non potrò mai avere sia il 6 che il 2) e la probabilità che uno di questi eventi si verifichi è pari alla loro somma, ovvero 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Quando abbiamo invece due eventi COMPATIBILI, è possibile che si verifichino contemporaneamente. In tal caso dovremo togliere dal calcolo delle probabilità quei casi in cui si verificano entrambi (o li conteremmo due volte). Teniamo a mente l’esempio precedente sul mazzo di carte: il primo evento consiste nel pescare un 10 dal mazzo, il secondo evento è che la carta sia di picche. La probabilità di pescare un 10 su un mazzo da 40 carte è di 4/40 = 1/10 mentre la probabilità di pescare una carta di picche è di 10/40 = ¼. Esiste anche il caso in cui peschiamo un 10 di picche, questa carta l’abbiamo considerata sia nella prima probabilità che nella seconda, così facendo abbiamo alterato il risultato reale (perchè quella carta è solo una) e per “riaggiustare” le probabilità dobbiamo sottrarre tale caso. Si avrà quindi 1/10 + 1/4 – 1/40( quest’ultima è la probabilità di pescare un 10 di picche dal mazzo) = 13/40.

Una volta capito se ci troviamo davanti a due eventi compatibili o incompatibili possiamo fare il passo successivo. Gli eventi compatibili, infatti, possono essere dipendenti o indipendenti fra di loro. Come suggerisce il nome, nel primo caso il verificarsi di un evento incide sul verificarsi dell’altro, nel secondo caso invece no.

La probabilità che due eventi INDIPENDENTI si verifichino, è data dal prodotto delle due probabilità. Per esempio: la probabilità che, tirando due volte lo stesso dado, esca prima un sei e poi un due. La probabilità che esca un sei nel primo lancio è di 1/6, la probabilità che esca un due nel secondo lancio non è in alcun modo condizionata dal primo lancio ed è sempre pari a 1/6. La probabilità totale è quindi 1/6 x 1/6 = 1/36.

ATTENZIONE!

La differenza dalla probabilità calcolata con eventi incompatibili è che, in questo caso, abbiamo DUE lanci, nel caso visto in precedenza abbiamo invece UN SOLO lancio.

La probabilità che due eventi DIPENDENTI si verifichino, è data dal prodotto della probabilità che si verifichi il primo evento con la probabilità che si verifichi il secondo dopo che il primo si è già verificato. Per esempio: la probabilità di pescare prima una pallina gialla (evento 1) e poi una pallina verde (evento 2) da un’urna contenente dieci palline verdi e dieci palline gialle, senza rimetterle dentro dopo ciascun pescaggio. In questo caso abbiamo prima 10/20 di probabilità di pescare una pallina gialla (infatti le palline gialle sono 10 e quelle totali sono 20), una volta tolta questa pallina ne rimangono 19. La probabilità, quindi, di pescare una pallina verde diventa 10/19. La probabilità totale è di 10/20 x 10/19 = 5/19.

A parole sembra tutto molto confuso e difficile, ma è più semplice di quanto non sembri. Per cercare di semplificare i concetti può essere utile guardare la tabella riassuntiva qui sotto e provare a fare i quiz che seguono.

ESERCIZI

1. È data un’urna con dieci palline: due gialle, due verdi, una rossa e cinque viola. Qual è la probabilità di pescare al primo tentativo una pallina viola o una gialla? Ammettendo che sia uscita quella gialla, qual è la probabilità di pescare, subito dopo, una pallina viola e poi una verde senza che ci sia mai reinserimento delle palline? A. 1; 5/36 B. 5/36; 1 C. 1; 0 D. 0; 7/10 E. 7/10; 5/36

Correzione commentata

• Possibilità di pescare una pallina viola o una gialla: sono due eventi incompatibili per cui la probabilità totale è la somma delle due probabilità 5/10 + 2/10 = 7/10
• Probabilità di pescare al secondo turno una pallina viola avendone pescata una gialla al primo: è un evento compatibile e dipendente dal precedente, infatti non rimettiamo la pallina gialla e nell’urna avremo solo 9 palline e la probabilità richiesta sarà quindi 5/9
• Probabilità di pescare una pallina verde: anche questo è un evento dipendente da quello precedente perché abbiamo tolto un’altra pallina e la probabilità risulta essere quindi 2/8

La probabilità totale degli ultimi due eventi è il loro prodotto perché avvengono in successione e sono dipendenti: 5/9 x 2/8 = 5/36. Risposta corretta E.

2. Marco ha sette paia di calzini, uno per ciascun giorno della settimana. Tre paia sono rosse, tre sono blu e un paio è bianco. Ha anche sette magliette: due gialle, una blu, tre verdi e una nera. Infine, ha quattro paia di pantaloni: due jeans chiari e due scuri. Oggi è martedì, sapendo che ieri ha usato una maglia verde, un paio di calzini blu e i pantaloni chiari e che non indossa mai i calzini e la maglietta due volte in una settimana, qual è la probabilità che, prendendo i vestiti al buio, abbia indossato un paio di jeans chiari, una maglietta nera e dei calzini blu? A 1 B 5/9 C 1/36 D 5/12 E 3/98

Correzione commentata Marco ha due paia di jeans chiari e, a differenza degli altri abiti, può indossarli due volte in una settimana. Quindi la probabilità di averli nell’armadio è di 2/4 (due paia su quattro), ovvero 1/2. Ha sette magliette, ma sappiamo che ne ha già usata una e che per il resto della settimana non la metterà più per cui potrà scegliere tra 6 magliette di cui solo una è nera. La probabilità di indossarla è quindi di 1/6. Come per le magliette, ha già usato un paio di calzini di colore blu, di conseguenza gli rimangono solo 6 paia di calzini di cui blu solo due. La possibilità di prendere proprio un paio di calzini blu è quindi di 2/6, ovvero 1/3.

I tre eventi sono tra loro indipendenti (infatti scegliere una maglietta piuttosto che un’altra non preclude la scelta di un determinato paio di calze o di jeans e viceversa) per cui il calcolo da fare è una semplice moltiplicazione: ½ x 1/3 x 1/6 = 1/36. Risposta corretta C.

Che dire, non ci resta che augurarvi un in bocca al lupo in vista del test di ammissione.