Pillole di Logica: MCD e mcm

Introduzione

Una delle tipologie di quesiti di logica matematica che più frequentemente si incontrano è quella dei problemi risolvibili con minimo comune multiplo e massimo comune divisore.

Un breve ripasso su cosa sono: – Il Massimo Comune Divisore (MCD) è il numero naturale più grande per il quale i numeri presi in considerazione possono essere divisi. – Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo numero naturale multiplo di tutti i numeri presi in considerazione.

Sebbene si conosca la differenza tra il calcolo di mcm e il calcolo di MCD, non sempre risulta intuitivo scegliere quale utilizzare sulla base dei dati forniti dall’esercizio.

Proviamo ad analizzare con un esempio entrambi i casi:

ESERCIZIO 1

Silvia, Francesca e Giulia decidono di iscriversi in palestra il 26 marzo. L’indomani partecipano alla lezione tutte e tre insieme. Successivamente Silvia potrà andare in palestra ogni 3 giorni, Francesca ogni 4 e Giulia solo ogni 6 giorni. Che giorno si incontreranno nuovamente in palestra?

A. 5 Aprile B. 6 Aprile C. 7 Aprile D. 8 Aprile E. 9 Aprile

Questo è un tipico esempio di esercizio da risolvere con mcm: il numero di giorni che devono trascorrere prima che le tre ragazze si incontrino nuovamente in palestra deve essere multiplo comune di 3, 4 e 6. Scomponendo in fattori primi i tre numeri otteniamo: 3 = 3 4 = 22 6 = 2 x 3 mcm = 22 x 3 = 12 Devono passare 12 giorni prima che le tre ragazze si trovino di nuovo in palestra tutte assieme, quindi, poiché la prima lezione cade il giorno successivo all’iscrizione, cioè il 27 Marzo, si incontreranno di nuovo l’8 Aprile. Risposta corretta D.

ESERCIZIO 2

Nella biblioteca dell’università sono arrivati dei nuovi libri: 45 di anatomia, 60 di istologia e 35 di biochimica. Si decide di sistemarli nel maggior numero possibile di scaffali in modo che ciascuno scaffale contenga lo stesso numero di libri delle tre tipologie. Quanti scaffali sono necessari, e quanti libri di anatomia, istologia e biochimica possono essere collocati su ogni scaffale? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 7

Questo è un classico esempio di esercizio da risolvere con MCD: il numero di scaffali necessari a far sì che ciascuno contenga lo stesso numero di libri delle tre tipologie deve essere divisore comune di 45, 60 e 35 Scomponendo in fattori primi i tre numeri otteniamo: 45 = 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5 35 = 5 x 7 MCD = 5 I libri devono essere ripartiti su 5 scaffali: su ogni scaffale saranno presenti 9 libri di anatomia (45/5), 12 di istologia (60/5) e 7 di biochimica (35/5). Risposta corretta D.

Con un po’ di attenzione diventerà automatico impostare correttamente la risoluzione di questi esercizi. Non ci resta che augurarvi buon lavoro!