Come riconoscere una conica

Introduzione

Dal punto di vista grafico, un’equazione di primo grado in due incognite è rappresentata da una retta del piano cartesiano. Le equazioni di secondo grado, invece, sono rappresentate da curve che prendono il nome di coniche. Questa denominazione deriva dal fatto che tali curve si ottengono considerando l’intersezione di un piano con una superficie conica a due falde, costituita cioè da due coni con il vertice in comune e le basi giacenti su due piani paralleli tra loro.  Per capire meglio, consideriamo la figura: In base all’inclinazione del piano rispetto alle superfici coniche, su di esso l’intersezione risulterà in una delle quattro tipologie di coniche:

1. Circonferenza
2. Ellisse
3. Parabola
4. Iperbole

L’equazione generale di una conica è: 

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

In base ai valori dei coefficienti A, B, C, D, E, F, la rappresentazione grafica di tale equazione risulterà in una delle quattro coniche descritte sopra. La domanda di questa pillola è: come riconoscere una conica guardando semplicemente la sua equazione?

Riconoscere una conica

Se nel test una domanda dovesse chiederti, data una certa equazione, di indicarne la rappresentazione grafica sul piano cartesiano, ecco un consiglio pratico su come procedere! In primo luogo, assicuriamoci che l’equazione in questione sia di secondo grado. Se l’equazione è di primo grado, infatti, la risposta è semplicissima e non richiede alcun calcolo: l’equazione corrisponde ad una retta. Se l’equazione è di secondo grado, sappiamo che si tratta di una conica. Ci basterà individuare i valori dei coefficienti (che possono anche essere nulli!) e calcolare il delta:

Δ=B2−4ACΔ=B2−4AC

Una volta noto il delta, sappiamo che:

• Se Δ<0, la conica è un’ellisse
• Se Δ=0, la conica è una parabola
• Se Δ>0, la conica è un’iperbole. Inoltre, può esserti utile ricordare che se A+C=0 l’iperbole è equilatera.
• Per quanto riguarda la circonferenza, ricordiamo che la sua equazione è:
• x2+y2+ax+by+c=0x2+y2+ax+by+c=
• Di conseguenza, se A=C, B=0, la conica è una circonferenza.

Di seguito trovi qualche esercizio per mettere in pratica i consigli di questa pillola. In bocca al lupo!

Esercizi

Esercizio 1

Considerando l’equazione

4y2+3x−2y+2=04y2+3x−2y+2=0

di quale conica si tratta? A. Ellisse B. Parabola C. Iperbole D. Iperbole equilatera E. Circonferenza  

Correzione commentata

In questo caso: A = 0, B = 0, C = 3. Di conseguenza, Δ=0. L’equazione è dunque una parabola. Risposta corretta B  

Esercizio 2

Quale tra le seguenti espressioni rappresenta una circonferenza? A. x+y=c B. x²+y²=c² C. x-y=c D. (x+y)²=c E. x²-2y²=c²  

Correzione commentata

Ricordiamo l’equazione canonica di una circonferenza:

x2+y2+ax+by+c=0x2+y2+ax+by+c=0

In questo caso, l’opzione corretta è la B, dove vediamo che A=C, B=0. Risposta corretta B

Le coniche

1. Circonferenza
2. Ellisse
3. Parabola
4. Iperbole