Capitalizzazione semplice e composta

Introduzione

l calcolo finanziario è un argomento del test Bocconi che può intimorire chi non ha mai sentito parlare di termini come capitale o montante. Niente panico però: il livello di conoscenza richiesto da questa categoria quesiti del test è minimo. La difficoltà sta nel capire come costruire formule logicamente corrette per risolvere questi problemi. In questa Pillola cercherò di fare chiarezza intorno a due importanti punti del calcolo finanziario: la capitalizzazione semplice e la capitalizzazione composta. Prima di iniziare, però, riassumiamo schematicamente gli elementi da considerare nel calcolo finanziario. In generale, quando facciamo un investimento utilizziamo una quantità di denaro (capitale iniziale, C) per comprare – ad esempio – azioni che per un certo periodo di tempo, t, fruttano degli interessi. Alla fine della durata dell’investimento riceveremo una cifra (montante, M) maggiore del capitale iniziale; perché a quest’ultimo si sono aggiunti gli interessi. La differenza tra il montante e il capitale iniziale indica gli interessi guadagnati in termini assoluti (I), mentre il tasso di interesse (i) è la percentuale che definisce l’aumento del capitale alla fine di un definito periodo di tempo.

La capitalizzazione semplice

Nel caso della capitalizzazione semplice, gli interessi guadagnati alla fine di un periodo non vengono re-investiti nel periodo successivo. Diciamo che gli interessi crescono in maniera lineare. Facciamo un esempio. Se investiamo 1000 € e il tasso di interesse è: t=10% annuo, l’interesse maturato alla fine di ogni anno è:

I=t⋅C=100€I=t⋅C=100€

Quindi se l’investimento dura 5 anni, per calcolare il montante ci basta sommare al capitale iniziale gli interessi maturati ogni anno:

M=C+5(tC)=1000€+500€=1500€M=C+5(tC)=1000€+500€=1500€

Ecco due formule utili da ricordare:

M=C+(t⋅i⋅C)→M=C(1+i⋅t)M=C+(t⋅i⋅C)→M=C(1+i⋅t)

I=C⋅i⋅tI=C⋅i⋅t

La capitalizzazione composta

Nel caso della capitalizzazione composta, gli interessi maturati alla fine di ogni periodo vengono re-investiti. Alla fine del primo periodo, quindi, gli interessi maturati si “aggiungono” al capitale iniziale; così nel secondo periodo gli interessi maturati saranno un po’ maggiori, perché lo stesso tasso di interesse del primo periodo viene applicato su un capitale maggiore. Riprendiamo l’esempio di prima. Alla fine del primo anno, il montante è:

M=C+tC=1100€M=C+tC=1100€

Alla fine del secondo anno, il montante è:

M=1100€+t(1100)€=1210€M=1100€+t(1100)€=1210€

Ecco la formula per calcolare la capitalizzazione composta:

M=C⋅(1+i)tM=C⋅(1+i)t

Considerando l’esempio di prima, quindi, dopo 5 anni il montante sarà:

M=1000€⋅(1+0,1)5=1610,51€M=1000€⋅(1+0,1)5=1610,51€

Ecco un paio di esercizi per mettervi alla prova!  

Esercizio 1

Qual è la somma che impiegata, per 3 mesi ad un tasso di interesse semplice del 7% annuo, frutta 700 €? A. 40.000 € B. 4.000 € C. 30.000 € D. 49.000 € E. 50.000 €  

Correzione Commentata

Per trovare il capitale iniziale C di un investimento a capitalizzazione semplice, utilizziamo la formula inversa:

I=C⋅i⋅t→C=I/(i⋅t)I=C⋅i⋅t→C=I/(i⋅t)

Notiamo che in questo caso 700 € – ossia quanto frutta l’investimento – corrispondono agli interessi accumulati, non al montante. Inoltre, facciamo attenzione al fatto che il tasso di interesse è del 7% annuo, mentre la durata dell’investimento è di 3 mesi, ossia ¼ di anno; in questo caso quindi: t=1/4. Applichiamo dunque la formula:

C=700€/(7%⋅1/4)=700€⋅1007⋅1/4=700€7⋅100⋅4=40.000€C=700€/(7%⋅1/4)=700€⋅1007⋅1/4=700€7⋅100⋅4=40.000€

Risposta corretta A  

Esercizio 2

Giovanna deve scegliere se investire 10.000 € ad un tasso di interesse semplice del 10% annuo per 3 anni o 11.000 € ad un tasso di interesse composto del 7% per 2 anni. Cosa le conviene fare? A. Le conviene investire con il tasso di interesse semplice B. Le conviene investire con il tasso di interesse composto C. É indifferente D. Non ci sono abbastanza dati per rispondere E. Le conviene non investire  

Correzione Commentata

Per rispondere al quesito, compariamo il montante che Giovanna riceverebbe alla fine di entrambi gli investimenti.

• Nel caso della capitalizzazione semplice:
• M=10.000€(1+0,1⋅3)=13.000€M=10.000€(1+0,1⋅3)=13.000€
• Nel caso della capitalizzazione composta:
• M=11.000€⋅(1+0,07)2=12.593,9€M=11.000€⋅(1+0,07)2=12.593,9€

A questo punto, calcoliamo i ricavi:

• Nel caso della capitalizzazione semplice, gli interessi guadagnati sono: 13.000 € – 10.000 € = 3.000 €
• Nel caso della capitalizzazione composta: 12.593,9 € – 7.000 € =5543,9 €

Gli interessi ricavati dall’investimento con tasso di interesse composto sono maggiori. Risposta corretta B