Pillole Testbusters di Matematica: Piano inclinato

Introduzione

Leggendo queste poche pagine potrai anche capire come fisica e geometria euclidea siano veramente molto collegate.

Trigonometria

Trigonometria

Prima di gettarsi a capofitto nella fisica è utile rispolverare alcune formule matematiche che ci torneranno molto utili nell’operare con il piano.

inclinato. 

 Quando abbiamo a che fare con triangoli rettangoli (nel nostro caso abbiamo un triangolo retto in ɑ) possiamo utilizzare delle formule che mettono in relazione i cateti tra loro e con l’ipotenusa. 

In particolare un cateto è calcolabile come l’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto, o come l’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo adiacente. Per angolo opposto intendiamo l’angolo che sta dall’altra parte del triangolo (β per il cateto b e γ per il cateto c) mentre per angolo adiacente intendiamo l’angolo che “tocca” il lato interessato (γ per il cateto b e β per il cateto c).

b = a ⋅ sen(β)                         b = a ⋅ cos(γ)

Ovviamente le stesse formule valgono anche per l’altro cateto:

c = a ⋅ sen(γ)                         c = a ⋅ cos(β)

Piano inclinato e trigonometria

Ma perchè queste formule sono così importanti quando si parla di piano inclinato? Il motivo sta nel fatto che durante la scomposizione della forza peso agente su una superficie inclinata si costruiscono dei triangoli simili al piano inclinato.  

Spieghiamoci meglio:  Scomponendo il vettore forza peso (Fp) nella componente perpendicolare (FPy) e nella componente parallela (FPx), generiamo due triangoli simili al piano inclinato, cioè triangoli con gli stessi angoli e lati in proporzione. In particolare: 

• All’ipotenusa corrisponde la forza peso
• Al cateto maggiore corrisponde la componente perpendicolare del peso
• Al cateto minore corrisponde la componente parallela del peso 

Componente parallela del peso (P〃)

Ora che abbiamo definito il motivo per cui possiamo applicare queste leggi passiamo alla definizione delle formule vere e proprie. La componente parallela è un cateto del triangolo formatosi dalla scomposizione della forza peso: per calcolare il cateto possiamo moltiplicare l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, ma dal momento che il triangolo generato è simile al piano inclinato, l’angolo che cerchiamo corrisponde all’angolo di inclinazione del piano stesso.

P||=Fpsen()

La componente parallela della forza peso è la forza che tenta di far scendere l’oggetto lungo il pendio, più il piano è ripido più la componente parallela è alta (infatti l’oggetto cadrebbe più facilmente e più velocemente). P〃 viene antagonizzata dalla forza di attrito, che tenta invece di frenare il corpo durante la discesa.

Componente perpendicolare del peso (P⊥)

Per lo stesso ragionamento appena fatto, la componente perpendicolare del peso corrisponde al secondo cateto del triangolo costruito. Siccome l’angolo noto (α) è in questo caso adiacente al lato, si utilizza la formula con il coseno

P=Fpcos()

La componente perpendicolare ci serve per calcolare la forza di attrito. Essa viene infatti definita come il prodotto tra la forza premente e il coefficiente di attrito (μ). Nel caso di un piano orizzontale, la forza premente corrisponde proprio alla forza peso, mentre nel caso del piano inclinato è uguale a P⊥.

FA=Fpremente

ESERCIZI 

1. Silvio è su uno ski-lift particolare che gli permette di salire su una pista di pendenza 30° rispetto al piano orizzontale e il filo che guida il tutto è parallelo alla pista da sci. Ad un certo punto tale filo viene tagliato e il povero Silvio si ritrova a scendere. Considerando che l’attrito non ci sia, calcolare la massa congiunta di Silvio e dello ski-lift, sapendo che la forza responsabile del loro spostamento sul piano inclinato è di 455 N. 
2. 455 Kg
3. 45 rad 3 kg
4. 45 kg
5. 91 kg
6. 22,5 rad 3  kg
7. Questo esercizio andava risolto con le formule del piano inclinato, la forza responsabile della discesa sul piano inclinato è la forza parallela uguale a F∥= m⋅g⋅sinα, per trovare la massa dovremo fare 

m = F∥/ sinα⋅g = 91kg.

Si considera qui g = 10 m/s2

 Risposta corretta D.

1. Un blocco di acciaio scivola con velocità costante senza attrito sopra ad un piano inclinato alto 4,2 m con accelerazione 3,5 m/s2. Quanto è lungo il piano inclinato?
2. 17 m
3. 24 m
4. 15,7 m
5. 13,6 m
6. 12 m
7. Per risolvere l’esercizio innanzitutto è bene fare un disegno del piano inclinato, tramite il quale possiamo notare che il seno dell’angolazione del piano (non fornita dal testo) si può ricavare facendo altezza del piano ÷ lunghezza del piano (ovvero l’ipotenusa). Questo perché sen(α) equivale a cateto opposto/ipotenusa. 

Il corpo scende con accelerazione costante e non è presente attrito, quindi possiamo scrivere un equivalenza tra Fp parallela=mghl (siccome h/l = sen(α)) e la seconda legge della dinamica F=ma.

mghl=ma Giungiamo ad avere h/l=a/g perchè m si elide ad ambo i membri, da cui infine l=ghl=104,23,5=12 m

Risposta corretta E.