Logica delle proposizioni

Introduzione

Cos’è questa logica matematica che fa tanta paura? È, ovviamente, una branca della logica, che utilizza un linguaggio simbolico e adotta un sistema di calcolo di tipo algebrico per esaminare le espressioni di un discorso deduttivo. Le espressioni analizzate vengono considerate come “oggetti grafici” combinabili tra loro (sintassi) o in relazione al loro significato (semantica). 

Proposizioni 

La logica è quindi la redazione e soprattutto la comprensione di proposizioni, le quali possono essere VERE o FALSE. V/F sono gli unici due stati possibili della proposizione.  Partiamo subito con un esempio per capire bene il concetto degli stati Vero e Falso:

1. il prato del parco è fuscia a strisce
2. 2 + 2 = 4

Le due frasi considerate sono due proposizioni, una vera e una falsa, ma quale? La proposizione A è falsa, mentre la B è vera.  Vediamo un altro esempio per metabolizzare bene il concetto: 

1. vorrei un gelato
2. preferisco il mare alla montagna

Queste due frasi non possono essere considerate proposizioni perchè esprimono un desiderio, una preferenza, per cui non sono affermazioni che possono essere definite in maniera assoluta, esplicita ed oggettiva vere o false. 

Connettivi 

Capito cosa sono le proposizioni, facciamo adesso un passo in avanti. Le proposizioni possono diventare più complesse combinandosi tra di loro attraverso i connettivi, che sono “e”, “o”, “se… allora”, “non” e così via.  I connettivi servono per unire due o più proposizioni per creare un enunciato, ossia la composizione di più proposizioni.  Per fare subito un esempio:

1. Se ci saranno almeno 28º allora Giulia farà il bagno in piscina → si tratta di un enunciato creato dal connettivo “Se… allora”
2. Alle 18 devo uscire: o vado in moto o vado in macchina → si tratta di un enunciato con il connettivo “o”

I simboli della logica matematica

Per evitare incomprensioni e incongruenze gli studiosi hanno inventato un “alfabeto” di simboli semplice, chiaro e uguale per tutti: questo alfabeto simbolico serve a costruire le frasi.  Non vi preoccupate prima del tempo, certi simboli saranno nuovi e dovrete comprenderli, ma molti altri, come ad esempio l’uguale (=) è un simbolo di questo alfabeto, che però conoscete già benissimo. 

1. 2×2 = 4 → è una formula sintatticamente corretta
2. 2 = -+5 → è una formula sintatticamente non corretta
3. 2x(3+6) = 50 → è una formula sintatticamente corretta

N.B. In questo momento stiamo analizzando la forma e quindi l’utilizzo corretto o meno dell’alfabeto, non siamo ancora entrati nel merito del contenuto!  I simboli generalmente utilizzati sono: 

• ¬ : indica il “non” cioè nega la proposizione. A volte viene anche indicato con una barra orizzontale sopra la lettera indicante la proposizione.
• ˄ : designa l’ “e” come congiunzione.
• ˅ : indica l’ “o” come disgiunzione.
• → : è utilizzata per indicare l’implicazione.
• Simboli per indicare le proposizioni: A, B, C, …
• Simboli accessori come le parentesi: (  )

Per evitare l’uso eccessivo e poco efficace delle parentesi, questi simboli hanno degli ordini di priorità: la priorità maggiore ce l’ha ¬, poi ˄, poi ˅, infine → .

Focus: VERO o FALSO

Purtroppo definire quando una proposizione è vera e quando è falsa non è sempre così semplice: per questo motivo vengono in nostro aiuto le Tavole della Verità.  Ricordandosi queste tavole sarà poi molto più veloce e semplice arrivare a dire se una proposizione è vera o falsa!Facciamo adesso qualche esercizio per entrare nel vivo di queste proposizioni.

ESERCIZIO 1

Date le proposizioni

• Francesco prende il motorino 
• Francesco va al bar 

la proposizione composta A congiunto B è: A. Francesco prende il motorino o va al bar B. Se Francesco prende il motorino allora va al bar C. Se Francesco prende il motorino allora non va al bar D. Francesco prende il motorino e va al bar E. Francesco non prende il motorino e va al bar

ESERCIZIO 2

Date le proposizioni 

• Martina va al cinema
• Luca va al cinema 

la proposizione composta A se e solo se B è: A. Martina va al cinema con Luca B. Martina va al cinema e anche Luca va al cinema C. Martina va al cinema se e solo se Luca va al cinema  D. Se Martina va al cinema, allora anche Luca va al cinema  E. Martina e Luca vanno al cinema

CORREZIONE COMMENTATA 

1. Dalla tabella di verità della congiunzione, a ∧ b è vera se Francesco compie entrambe le azioni, mentre è falsa se Francesco non compie almeno una delle due azioni. Risposta corretta D. 
2. A ↔ B: Martina va al cinema se e solo se Luca va al cinema. Dalla tabella della verità dell’equivalenza, A ↔ B è vera se, per esempio, Martina e Luca non vanno al cinema (A e B false). La A ↔ B è falsa se, per esempio, Martina va al cinema (A vera) e Luca non ci va (B falsa). Risposta corretta C.

Focus: VERO o FALSO